题目

题型：不详难度：来源：

已知f（x）=（x-1）²，g（x）=10（x-1），数列{a_n}满足（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，a₁=2，bn=

9

10

(n+2)(an-1)
（I）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）求数列{b_n}中最大项．

答案

（I）由方程（a_n+1-a_n）g（a_n）+f（a_n）=0，
得：（a_n+1-a_n）×10×（a_n-1）+（a_n-1）²=0，
整理得（a_n-1）[10×（a_n+1-a_n）+a_n-1]=0；
显然由a₁=2，知{a_n}显然不是常数列，且不等于1，所以两边除以a_n-1；
得10×（a_n+1-a_n）+a_n-1=0，整理后得：10（a_n+1-1）=9（a_n-1），
a₁-1=1，则{a_n-1}就是首项为1，公比为

9

10

的等比数列．
所以a_n-1=(

9

10

)n-1，an=(

9

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)n-1+1；
（Ⅱ）将a_n-1=（

9

10

）^n-1代入bn=

9

10

（n+2）（an-1），得b_n=（

9

10

）ⁿ×（n+2）．
b_n+1-b_n=（

9

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）ⁿ⁺¹×（n+3）-（

9

10

）ⁿ×（n+2）=（

9

10

）ⁿ×

7-n

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．
∴{b_n}在[1，7]上单调递增，在[8，+∞）上单调递减，
∴当n取7或8时b_n取最大值，最大值为9×（

9

10

）⁷．