题目

题型：甘谷县模拟难度：来源：

设函数f(x)=

3

cos(2x+φ)+sin(2x+φ)(|φ|＜

π

2

)，且其图象关于直线x=0对称，则（　　）

A．y=f（x）的最小正周期为π，且在(0， π 2 )上为增函数

B．y=f（x）的最小正周期为π，且在(0， π 2 )上为减函数

C．y=f（x）的最小正周期为 π 2 ，且在(0， π 4 )上为增函数

D．y=f（x）的最小正周期为 π 2 ，且在(0， π 4 )上为减函数

答案

f（x）=

3

cos（2x+φ）+sin（2x+φ）
=2[

3

2

cos（2x+φ）+

1

2

sin（2x+φ）]
=2cos（2x+φ-

π

6

），
∵ω=2，
∴T=

2π

2

=π，
又函数图象关于直线x=0对称，
∴φ-

π

6

=kπ（k∈Z），即φ=kπ+

π

6

（k∈Z），
又|φ|＜

π

2

，
∴φ=

π

6

，
∴f（x）=2cos2x，
令2kπ≤2x≤2kπ+π（k∈Z），解得：kπ≤x≤kπ+

π

2

（k∈Z），
∴函数的递减区间为[kπ，kπ+

π

2

]（k∈Z），
又（0，

π

2

）⊂[kπ，kπ+

π

2

]（k∈Z），
∴函数在（0，

π

2

）上为减函数，
则y=f（x）的最小正周期为π，且在（0，

π

2

）上为减函数．
故选B