已知f(θ)=sin2θ+sin2(θ+α)+sin2(θ+β),其中α,β为参数,且0≤α<β≤π.若f(θ)是一个与θ无关的定值,试确定其中的参数α,β的值. |
由题意得,f(θ)=++ =-[cos2θ+cos(2θ+2α)+cos(2θ+2β)] =-(cos2θ+cos2θcos2α-sin2θsin2α+cos2θcos2β-sin2θsin2β) =-[cos2θ(1+cos2α+cos2β)-sin2θ(sin2α+sin2β)] ∵f(θ)是一个与θ无关的定值, ∴ | 1+cos2α+cos2β=0 | sin2α+sin2β=0 |
| | ,即 | cos2α+cos2β=-1 | sin2α+sin2β=0 |
| | , 两式平方相加得,2+2(cos2αcos2β+sin2αsin2β)=1 得cos(2α-2β)=-, ∵0≤α<β≤π,∴-2π≤2α-2β<0, 则2α-2β=-或-,即α-β=-或-,① 由sin2α+sin2β=0得,sin2α=-sin2β, ∵0≤α<β≤π,∴2α=2π-2β或2α=π-(2π-2β), 即α+β=π或α-β=- ② 若α-β=-时,只能满足②α+β=π,解得α=,β=, 若α-β=-时,只能满足②α+β=π,解得α=,β=. 代入检验,α=和β=不满足1+cos2α+cos2β=0,故舍去, 综上得,α=,β=. |
核心考点
试题【已知f(θ)=sin2θ+sin2(θ+α)+sin2(θ+β),其中α,β为参数,且0≤α<β≤π.若f(θ)是一个与θ无关的定值,试确定其中的参数α,β的值】;主要考察你对
两角和与差的三角函数等知识点的理解。
[详细]
举一反三
已知△ABC三个内角A,B,C的对边分别为a,b,c,b=2a•sinB,且•>0. (1)求∠A的度数; (2)若cos(A-C)+cosB=,a=6,求△ABC的面积. |
已知cosα=,0<α<π,则tan(α+)=______. |
函数y=sinxcosx+cos2x-的图象的一条对称轴是( ) |
已知a,b,c为△ABC的内角A,B,C的对边,满足=,函数f(x)=sinωx(ω>0)在区间[0,]上单调递增,在区间[,]上单调递减. (Ⅰ)证明:b+c=2a; (Ⅱ)若f()=cosA,证明:△ABC为等边三角形. |
在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,且A,B,C成等差数列. (1)若•=-,且b=,求a+c的值; (2)若存在实数m,使得2sinA-sinC=m成立,求实数m的取值范围. |