题目

题型：不详难度：来源：

如图，在平面直角坐标系中，以轴为始边，两个锐角,的终边分别与单位圆相交于A,B 两点．

（Ⅰ）若，，求的值；
（Ⅱ）若角的终边与单位圆交于点，设角的正弦线分别为
，试问：以作为三边的长能否构成一个三角形？若能，请加以证明；若不能，请说明理由.

答案

（Ⅰ）（Ⅱ）以作为三边的长能构成一个三角形.

解析

试题分析：（Ⅰ）∵0<α<，  tanα＝，∴cosα＝，sinα＝.
又∵0<β<，sinβ＝，∴0<2β<π，cos2β＝1－2sin²β＝，sin2β＝＝.
于是cos(α＋2β)＝cosαcos2β－sinαsin2β＝×－×＝.
由已知条件知0<α＋2β<π，∴α＋2β＝.  6分
（Ⅱ）解：以作为三边的长能构成一个三角形，证明如下：
∵，∴ 
∴，，
∵，所以，，于是有：
①   8分
又∵，∴，于是有：
②
同理：③
由①②③可知，以作为三边的长能构成一个三角形. 12分
点评：第一问涉及到基本公式有
，求角的大小常首先求角的某一三角函数值，结合角的范围即可求出；第二问判定能否构成三角形即判定三边长是否有任意两边之和大于第三边，确定不等式关系主要借助于正余弦函数的有解性