题目

题型：不详难度：来源：

阅读下面材料：
根据两角和与差的正弦公式，有
------①
------②
由①+② 得------③
令 有
代入③得 ．
(Ⅰ)类比上述推证方法，根据两角和与差的余弦公式，证明:
;
(Ⅱ)若的三个内角满足,试判断的形状．
(提示:如果需要，也可以直接利用阅读材料及(Ⅰ)中的结论)

答案

（1）结合两角和的余弦公式来联立方程组来求解得到。
（2）直角三角形

解析

试题分析：解法一：(Ⅰ)因为，   ①
，        ②         2分
①-② 得.    ③     3分
令有，
代入③得.         6分
(Ⅱ)由二倍角公式,可化为
,           8分
即.                 9分
设的三个内角A,B,C所对的边分别为，
由正弦定理可得.                11分
根据勾股定理的逆定理知为直角三角形.          12分
解法二：(Ⅰ)同解法一.
(Ⅱ)利用(Ⅰ)中的结论和二倍角公式, 可化为
，         8分
因为A,B,C为的内角，所以，
所以.
又因为，所以,
所以.
从而.                 10分
又因为,所以，即.
所以为直角三角形.                 12分
点评：本小题主要考查两角和与差三角函数公式、二倍角公式、三角函数的恒等变换等基础知识，考查推理论证能力，运算求解能力，考查化归与转化思想等