题目

题型：山东省月考题难度：来源：

已知函数f（x）=2 sinxcosx+2cos²x﹣1（x∈R）
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期及在区间[0， ]上的最大值和最小值；
（Ⅱ）若f（x₀）= ，x₀∈[ ， ]，求cos2x₀的值．

答案

解：（Ⅰ）由f（x）=2sinxcosx+2cos2x﹣1，
得f（x）=（2sinxcosx）+（2cos2x）﹣1）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）
所以函数f（x）的最小正周期为π．
因为f（x）=2sin（2x+）在区间[0，]上为增函数，在区间[，]上为减函数，
又f（0）=1，f（）=2，f（）=﹣1，
所以函数f（x）在区间[0，]上的最大值为2，最小值为﹣1．
（Ⅱ）由（1）可知f（x₀）=2sin（2x₀+）
又因为f（x₀）=，所以sin（2x₀+）=
由x₀∈[，]，得2x₀+∈[，]
从而cos（2x₀+）=﹣=﹣．
所以cos2x₀=cos[（2x₀+）﹣]=cos（2x₀+）cos+sin（2x₀+）sin=．