题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=Asin（ωx+φ）（A＞0，ω＞0，0＜φ＜π）两相邻对称轴间的距离为

π

2

，且图象的一个最低点为(

2π

3

，-

1

2

)．
（1）求f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）的单调增区间与对称轴；
（3）当x∈[-

π

6

，

π

3

]时，求函数f（x）的值域．

答案

（1）由题意知A=

1

2

，T=2×

π

2

=π⇒ω=2
又图象有一个最低点(

2π

3

，-

1

2

)，
∴2•

2π

3

+φ=2kπ+

3π

2

⇒φ=2kπ+

π

6

而0＜φ＜π，
∴φ=

π

6

，
故f(x)=

1

2

sin(2x+

π

6

)；
（2）2kπ-

π

2

＜2x+

π

6

＜2kπ+

π

2

⇒kπ-

π

3

＜x＜kπ+

π

6

；
2x+

π

6

=kπ+

π

2

⇒x=

kπ

2

+

π

6

∴f（x）的增区间是(k-

π

3

，kπ+

π

6

)k∈Z，
对称轴为x=

kπ

2

+

π

6

k∈Z；
（3）x∈[-

π

6

，

π

3

]⇒2x+

π

6

∈[-

π

6

，

5π

6

]，
∴sin(2x+

π

6

)∈[-

1

2

，1]，
∴f(x)∈[-

1

4

，

1

2

]．