题目

题型：不详难度：来源：

关于函数f（x）=sin²x-(

2

3

)|x|+

1

2

，下面有四个结论，其中正确的为 ．
①f（x）为奇函数；②当x＞2008时，f（x）＞

1

2

恒成立；③f（x）的最大值是

3

2

；④f（x）的最小值是-

1

2

．

答案

y=f（x）的定义域为x∈R，且f（-x）=sin²（-x）-(

2

3

)|-x|+

1

2

=sin²x-(

2

3

)|x|+

1

2

=f（x），则函数f（x）为偶函数，因此结论①错．
对于结论②，取特殊值当x=1000π时，x＞2008，sin²1000π=0，且（

2

3

）^1000π＞0
∴f（1000π）=

1

2

-（

2

3

）^1000π＜

1

2

，因此结论②错．
又f（x）=

1-cos2x

2

-（

2

3

）^|x|+

1

2

=1-

1

2

cos2x-（

2

3

）^|x|，-1≤cos2x≤1，
∴-

1

2

≤1-

1

2

cos2x≤

3

2

，（

2

3

）^|x|＞0
故1-

1

2

cos2x-（

2

3

）^|x|＜

3

2

，即结论③错．
而cos2x，（

2

3

）^|x|在x=0时同时取得最大值，
所以f（x）=1-

1

2

cos2x-（

2

3

）^|x|在x=0时可取得最小值-

1

2

，即结论④是正确的．
故答案为：④