题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=1+sinxcosx，g(x)=cos2(x+

π

12

)．
（I）设x=x₀是函数y=f（x）的图象上一条对称轴，求g(

x

0

)的值；
（II）求使函数h(x)=f(

ωx

2

)+g(

ωx

2

)(ω＞0)在区间[-

2π

3

，

π

3

]上是增函数的ω的最大值．

答案

（I）f(x)=1+sinxcosx=1+

1

2

sin2x，g(x)=cos2(x+

π

12

)=

1

2

[1+cos(2x+

π

6

)]，（2分）
∵x=x₀是函数f（x）图象的一条对称轴，
∴2x0=kπ+

π

2

(k∈Z)，（4分）
∴g(x0)=cos2(x0+

π

12

)=

1

2

[1+cos(2x0+

π

6

)]=

1

2

[1+cos(kπ+

2π

3

)]
当k为偶数时，g(x0)=

1

4

；当k为奇数时，g(x0)=

3

4

.（6分）
（II）h(x)=

3

2

+

1

4

sinωx+

3

4

cosωx=

1

2

sin(ωx+

π

3

)+

3

2

（8分）
∵ω＞0，∴当x∈[-

2π

3

，

π

3

]时，ωx+

π

3

∈[-

2ωπ

3

+

π

3

，

ωπ

3

+

π

3

]
∴[-

2ωπ

3

+

π

3

，

ωπ

3

+

π

3

]⊆[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

](k∈Z)，（10分）
∴

- 2ωπ 3 + π 3 ≥2kπ- π 2 ωπ 3 + π 3 ≤2kπ+ π 2

，即

ω≤-3k+ 5 4 ω≤6k+ 1 2

，
∵ω＞0，∴

-3k+ 5 4 ＞0 6k+ 1 2 ＞0

，-

1

12

＜k＜

5

12

，
∵k∈Z，∴k=0，∴ω≤

1

2

，ω的最大值是

1

2

（12分）