题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数（，）为偶函数，且函数图象的两相邻对称轴间的距离为．
(1)求的值；
(2)将函数的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到函数的图象，求的单调递减区间．

答案

(1) ;(2) ．

解析

试题分析：(1)将原函数化简得，函数为偶函数，所以得，由，所以，又图象的两相邻对称轴间的距离为，所以周期，可得;(2) 的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象，所以，将看作整体，由余弦函数的性质，可得的单调递减区间．
解：（1）
．因为为偶函数，所以对，恒成立，
因此．
即，
整理得．因为，且，所以．
又因为，故．所以．
由题意得，所以．故．
因此．
（2）将的图象向右平移个单位后，得到的图象，再将所得图象横坐标伸长到原来的4倍，纵坐标不变，得到的图象．
所以．
当（），
即（）时，单调递减，
因此的单调递减区间为（）．