题目

题型：解答题难度：一般来源：河池模拟

已知△ABC中，a、b、c分别是三个内角A、B、C的对边，关于x的不等式x²cosC+4xsinC+6＜0的解集是空集
（Ⅰ）求角C的最大值；
（Ⅱ）若c=

7

2

，△ABC的面积S=

3

2

3

，求当角C取最大值时a+b的值．

答案

（Ⅰ）∵不等式x²cosC+4xsinC+6＜0的解集是空集．
∴

cosC＞0 △≤0

，即

cosC＞0 16sin2C-24cosC≤0

，
即

cosC＞0 cosC≤-2或cosC≥ 1 2

，
故cosC≥

1

2

，∴角C的最大值为60°．
（Ⅱ）当C=60°时，S△ABC=

1

2

absinC=

3

4

ab=

3

2

3

，∴ab=6，
由余弦定理得c²=a²+b²-2abcosC=（a+b）²-2ab-2abcosC，
∴(a+b)2=c2+3ab=

121

4

，
∴a+b=

11

2

．