题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．已知

cosA

cosB

=

b

a

，且∠C=

2π

3

．
（Ⅰ）求角A，B的大小；
（Ⅱ）设函数f（x）=sin（x+A）+cosx，求f（x）在[-

π

6

，

π

3

]上的最大值．

答案

（Ⅰ）∵已知

cosA

cosB

=

b

a

，由正弦定理得

cosA

cosB

=

sinB

sinA

，即 sin2A=sin2B．  …（3分）
∴A=B，或A+B=

π

2

（舍去），∵C=

2π

3

，则A=B=

π

6

．   …（6分）
（Ⅱ）∵函数f（x）=sin（x+A）+cosx=sin（x+

π

6

）+cosx=

3

sin（x+

π

3

），…（10分）
∵x∈[-

π

6

，

π

3

]，则 

π

6

≤x+

π

6

≤

2π

3

．  …（12分）
故当 x+

π

6

=

π

2

时，函数f（x）=

3

sin（x+

π

3

）取得最大值为

3

．    …（14分）