题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知向量

m

=(-1，cosωx+

3

sinωx)，

n

=(f(x)，cosωx)，其中ω＞0，且

m

⊥

n

，又函数f（x）的图象任意两相邻对称轴间距为

3

2

π．
（Ⅰ）求ω的值．
（Ⅱ）设α是第一象限角，且f(

3

2

α+

π

2

)=

23

26

，求

sin(α+ π 4 )

cos(π+2α)

的值．

答案

（Ⅰ）由题意得

m

•

n

=0，
所以，f(x)=cosωx•(cosωx+

3

sinωx)=

1+cos2ωx

2

+

3 sin2ωx

2

=sin(2ωx+

π

6

)+

1

2

根据题意知，函数f（x）的最小正周期为3π，又ω＞0，所以ω=

1

3

（Ⅱ）由（Ⅰ）知f(x)=sin(

2

3

x+

π

6

)+

1

2

所以f(

3

2

α+

π

2

)=sin(α+

π

2

)+

1

2

=cosα+

1

2

=

23

26

解得cosα=

5

13

因为α是第一象限角，故sinα=

12

13

所以

sin(α+ π 4 )

cos(π+2α)

=

sin(α+ π 4 )

-cos2α

=

2

-2(cosα-sinα)

=

13

14

2