题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=-2

3

sin2x+sin2x+

3

．（1）求函数f（x）的单调递减区间；（2）当x∈[0，π]时，求f（x）的最大值；（3）求满足f（a-x）=f（a+x）（x∈R）的所有的常数a．

答案

（1）f(x)=-2

3

sin2x+sin2x+

3

=

3

(1-2sin2x)+sin2x
=sin2x+

3

cos2x
∴f(x)=2sin(2x+

π

3

)
令

π

2

+2kπ≤2x+

π

3

≤

3π

2

+2kπ，k∈Z可得kπ+

π

12

≤x≤kπ+

7π

12

，k∈Z
函数的单减区间为[kπ+

π

12

， kπ+

7π

12

]（k∈Z）
（2）∵x∈[0，π]∴

π

3

≤2x+ 

π

3

≤

7π

3

∴-1≤sin(2x+

π

3

)≤1
∴函数的最大值为2           
（3）由f（a-x）=f（a+x）（x∈R）可得函数关于x=a对称即考虑对称轴
令2x+

π

3

=kπ+

π

2

x=

kπ

2

+

π

12

∴a=

kπ

2

+

π

12

（k∈Z）