题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=2cos²ωx+2sinωxcosωx+1（x∈R，ω＞0）的最小正周期是

π

2

．
（Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）求函数f（x）的单调递减区间；
（Ⅲ）若f（x）-a²＞2a在x∈[0，

π

8

]上恒成立，求实数a的取值范围．

答案

（Ⅰ）f（x）=2cos²ωx+2sinωxcosωx+1

=2• 1+cos2ωx 2 +sin2ωx+1 =sin2ωx+cos2ωx+2 = 2 (sin2ωxcos π 4 +cos2ωxsin π 4 )+2 = 2 sin(2ωx+ π 4 )+2

由函数f（x）的最小正周期是

π

2

，可得

2π

2ω

=

π

2

，所以ω=2；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f(x)=

2

sin(4x+

π

4

)+2．
当

π

2

+2kπ≤4x+

π

4

≤

3π

2

+2kπ，即

π

16

+

kπ

2

≤x≤

5π

16

+

kπ

2

(k∈Z)时，
函数f（x）的单调递减区间为：[

π

16

+

kπ

2

，

5π

16

+

kπ

2

](k∈Z)；
（Ⅲ）∵f（x）-a²＞2a，
∴a²+2a＜f（x），
∵x∈[0，

π

8

]，即4x+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，
∴

2

2

≤sin≤1，
∴f（x）有最小值为3，
由a²+2a＜f（x）恒成立，得a²+2a＜3，
∴-3＜a＜1
实数a的取值范围是（-3，1）．