题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

在△ABC中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，且C=

π

3

，a+b=λc，（其中λ＞1）．
（Ⅰ）若c=λ=2时，求

AC

•

BC

的值；
（Ⅱ）若

AC

•

BC

=

1

6

（λ⁴+3）时，求边长c的最小值及判定此时△ABC的形状．

答案

（Ⅰ）∵a+b=λc由正弦定理得：sinA+sinB=λsinC，
又∵λ=2，C=

π

3

⇒sinB+sin(

2π

3

-B)=

3

⇒sin(B+

π

6

)=1，
∴B=

π

3

，根据c=2，得到△ABC为边长为2的等边三角形，
∴

AC

•

BC

=abcosC=2；
（Ⅱ）由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcosC=a²+b²-ab=（a+b）²-3ab，
由

AC

•

BC

=

1

6

(λ4+3)⇒ab=

1

3

(λ4+3)，又a+b=λc，
∴c2=λ2c2-(λ4+3)⇒c2=

λ4+3

λ2-1

=(λ2-1)+

4

λ2-1

+2≥6
∴cmin=

6

当且仅当λ=

3

时取等号．此时c=

6

，ab=4，a+b=3

2

，
∴

a= 2 b=2 2 c= 6

或

a=2 2 b= 2 c= 6

，
∴△ABC为直角三角形．