题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=sin（x+

π

6

）+2sin²

x

2

．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）记△ABC的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，若f（A）=

3

2

，△ABC的面积S=

3

2

，a=

3

，求sinB+sinC的值．

答案

（本小题满分12分）
（Ⅰ）f（x）=sin（x+

π

6

）+2sin²

x

2

=

3

2

sinx+

1

2

cosx+1-cosx
=

3

2

sinx-

1

2

cosx+1=sin（x-

π

6

）+1，…（4分）
∵正弦函数的单调递增区间为[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]（k∈Z），
∴2kπ-

π

2

≤x-

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），
解得：2kπ-

π

3

≤x≤2kπ+

2π

3

（k∈Z），
则函数f（x）的单调递增区间是[2kπ-

π

3

，2kπ+

2π

3

]（k∈Z）；…（6分）
（Ⅱ）由f（A）=

3

2

，得到sin（A-

π

6

）+1=

3

2

，即sin（A-

π

6

）=

1

2

，
∵0＜A＜π，∴A=

π

3

，…（7分）
∵面积S=

1

2

bc•sinA=

3

2

，
∴bc=2，…（8分）
∵a²=b²+c²-2bc•cos

π

3

，
∴a²=（b+c）²-3bc，
又a=

3

，bc=2，
∴b+c=3，…（10分）
∵

b

sinB

=

c

sinC

=

a

sinA

=2，
∴sinB=

b

2

，sinC=

c

2

，
∴sinB+sinC=

b

2

+

c

2

=

b+c

2

=

3

2

．…（12分）