题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知

a

=（sinθ，-2）与

b

=（1，cosθ）互相垂直，其中θ∈（0，

π

2

）．
（1）求sinθ和cosθ的值；
（2）若sin（θ-j）=

10

10

，0＜j＜

π

2

，求j的值．

答案

（1）因为

a

与

b

互相垂直，
所以

a

•

b

=0．
所以sinθ-2cosθ=0，即sinθ=2cosθ．
因为sin²θ+cos²θ=1，
所以（2cosθ）²+cos²θ=1．
解得cos²θ=

1

5

．则sin²θ=

4

5

．
因为θ∈（0，

π

2

），
所以sinθ＞0，cosθ＞0，
所以sinθ=

2 5

5

，cosθ=

5

5

．
（2）因为0＜j＜

π

2

，0＜θ＜

π

2

，所以-

π

2

＜θ-j＜

π

2

，
所以cos（θ-j）=

1-sin2(θ-j)

=

3 10

10

，
所以cosj=cos[θ-（θ-j）]=cosθcos（θ-j）+sinθsin（θ-j）=

2

2

．所以j=

π

4

．