题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知

a

=(sinα，sinβ)，

b

=(cos(α-β)，-1)，

c

=(cos(α+β)，2)，α，β≠kπ+

π

2

(k∈Z)．
（1）若

b

∥

c

，求tanα•tanβ的值；
（2）求

a

2+

b

•

c

的值．

答案

（1）∵

b

=（cos（α-β），-1），

c

=（cos（α+β），2），且

b

∥

c

，
∴2cos（α-β）+cos（α+β）=0，即2（cosαcosβ+sinαsinβ）+cosαcosβ-sinαsinβ=0，
∴3cosαcosβ+sinαsinβ=0，又α，β≠kπ+

π

2

（k∈Z），
∴tanα•tanβ=-3；
（2）∵

a

=（sinα，sinβ），

b

=（cos（α-β），-1），

c

=（cos（α+β），2），
∴

a

2+

b

•

c

=sin²α+sin²β+cos（α-β）cos（α+β）-2
=sin²α+sin²β+cos²αcos²β-sin²αsin²β-2
=sin²α+（1-sin²α）sin²β+cos²αcos²β-2
=sin²α+cos²αsin²β+cos²αcos²β-2
=sin²α+cos²α（sin²β+cos²β）-2
=sin²α+cos²α+2
=1-2
=-1．