题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f（x）=（sinωx-cosωx）²+2sin²ωx（ω＞0）的周期为

2

3

π．
（Ⅰ） 求函数y=f（x）在[0，

π

3

]上的值域；
（Ⅱ）求最小的正实数ϕ，使得y=f（x）的函数图象向右平移ϕ个单位后所对应的函数为偶函数．

答案

f（x）=（sinωx-cosωx）²+2sin²ωx=1-2sinωxcosωx+（1-cos2ωx）
=2-sin2ωx-cos2ωx=2-

2

sin（2ωx+

π

4

）
由T=

2π

3

，得到|ω|=

3

2

，又ω＞0，
∴ω=

3

2

，
则f（x）=2-

2

sin（3x+

π

4

），
（Ⅰ）由0≤x≤

π

3

⇒

π

4

≤3x+

π

4

≤

5π

4

⇒-

2

2

≤sin(3x+

π

4

)≤1
则函数y=f（x）在[0，

π

3

]上的值域为[2-

2

，3]；
（Ⅱ）∵y=f（x）的函数图象向右平移ϕ个单位后所对应的函数为：
g(x)=2-

2

sin[3(x-ϕ)+

π

4

]
则y=g（x）为偶函数，则有3(-ϕ)+

π

4

=kπ+

π

2

(k∈Z)
则φ=-

k

3

π-

π

12

（k∈Z），又因为φ＞0，
∴满足条件的最小正实数φ=

π

4

．