题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设α、β为锐角，且

a

=（sinα，-cosα），

b

=（-cosβ，sinβ），

a

+

b

=（

6

6

，

2

2

），求

a

•

b

和cos（α+β）的值．

答案

∵

a

=（sinα，-cosα），

b

=（-cosβ，sinβ），
∴

a

+

b

=（sinα-cosβ，-cosα+sinβ），又

a

+

b

=（

6

6

，

2

2

），
∴sinα-cosβ=

6

6

，cosα-sinβ=-

2

2

，
∴（sinα-cosβ）²+（cosα-sinβ）²=

2

3

，
整理得：sin²α+cos²β-2sinαcosβ+cos²α+sin²β-2cosαsinβ=2-2（sinαcosβ+cosαsinβ）=

4

9

，
即sin（α+β）=

7

9

，
∴

a

•

b

=-sinαcosβ-cosαsinβ=-（sinαcosβ+cosαsinβ）=-sin（α+β）=-

7

9

；
又sinα-cosβ＞0，即sinα＞sin（

π

2

-β），且α、β均为锐角，
∴

π

2

＜α+β＜π，
∴cos（α+β）=-

1-sin2(α+β)

=-

4 2

9

．