题目

题型：解答题难度：一般来源：杭州一模

设A={x|x=kπ+

π

2

，k∈Z }，已知

a

=（ 2cos

α+β

2

，sin

α-β

2

），

b

=（cos

α+β

2

，3sin

α-β

2

），
（1）若α+β=

2π

3

，且

a

=2

b

，求α，β的值．
（2）若

a

•

b

=

5

2

，其中 α，β∈A，求tanαtanβ的值．

答案

（1）∵α+β=

2π

3

，
∴

a

=（1，sin（α-

π

3

）），

b

=（

1

2

，3sin（α-

π

3

）），（4分）
由

a

=2

b

，，得sin（α-

π

3

）=0，
∴α=kπ+

π

3

，β=-kπ+

π

3

，k∈Z．（3分）
（2）∵

a

•

b

=2cos²

α+β

2

+3sin²

α-β

2

=1+cos（α+β）+3×

1-cos(α-β)

2

=

5

2

+cos（α+β）-

3

2

cos（α-β）=

5

2

，（3分）
∴cos（α+β）=

3

2

cos（α-β），
展开得2cosα•cosβ-2sinα•sinβ=3cosα•cosβ+3sinα•sinβ
即-5sinα•sinβ=cosα•cosβ，
∵α，β∈A，
∴tanα•tanβ=-

1

5

．（4分）