题目

题型：不详难度：来源：

已知函数f(x)=sinxcosx+

3

cos2x．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在区间[-

π

6

，

π

2

]上的最大值和最小值．

答案

（Ⅰ）∵f(x)=sinxcosx+

3

cos2x=

1

2

•2sinxcosx+

3

2

(cos2x+1)
=

1

2

sin2x+

3

2

cos2x+

3

2

=sin(2x+

π

3

)+

3

2

，∴函数f（x）的最小正周期T=

2π

2

=π．
（Ⅱ）∵-

π

6

≤x≤

π

2

，0≤2x+

π

3

≤

4π

3

，∴-

3

2

≤sin(2x+

π

3

)≤1，
∴0≤sin(2x+

π

3

)+

3

2

≤1+

3

2

=

2+ 3

2

，∴f（x）在区间[-

π

6

，

π

2

]上的最大值为

2+ 3

2

，最小值为0．