题目

题型：解答题难度：一般来源：湖北模拟

已知函数f（x）=2asinωxcosωx+b（2cos²ωx-1）（ω＞0）在x=

π

12

时取最大值2．x₁，x₂是集合M={x∈R|f（x）=0}中的任意两个元素，|x₁-x₂|的最小值为

π

2

．
（I）求a、b的值；
（II）若f(α)=

2

3

，求sin(

5π

6

-4α)的值．

答案

（I）f（x）=asin2ωx+bcos2ωx，
可设f（x）=Asin（2ωx+ϕ），其中A=

a2+b2

，sinϕ=

b

a2+b2

，cosϕ=

a

a2+b2

由题意知：f（x）的周期为π，A=2，由

2π

2ω

=π，知ω=1．
∴f（x）=2sin（2x+ϕ）（3分）
∵f(

π

12

)=2，∴sin(

π

6

+ϕ)=1，从而

π

6

+ϕ=

π

2

+2kπ，k∈Z，
即ϕ=

π

3

+2kπ(k∈Z)，∴f(x)=2sin(2x+

π

3

)=sin2x+

3

cos2x，
从而a=1，b=

3

（6分）

（II）由f(α)=

2

3

知2sin(2α+

π

3

)=

2

3

，即sin(2α+

π

3

)=

1

3

．
∴sin(

5π

6

-4α)=sin[

3π

2

-(4α+

2π

3

)]=-cos(4α+

2π

3

)
=-1+2sin2(2α+

π

3

)=-1+2×(

1

3

)2=-

7

9

．（12分）