题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设函数f(x)=cos(2x-

π

3

)-2sin2x
（Ⅰ）求函数f（x）的最小正周期和单调递增区间；
（Ⅱ）△ABC，角A，B，C所对边分别为a，b，c，且f(B)=

1

2

．b=1，c=

3

，求a的值．

答案

（Ⅰ）∵f(x)=cos(2x-

π

3

)-2sin2x=cos2xcos

π

3

+sin2xsin

π

3

-（1-cos2x）
=

1

2

cos2x+

3

2

sin2x+cos2x-1=

3

（

1

2

sin2x+

3

2

cos2x）-1
=

3

sin（2x+

π

3

）-1，
∴T=

2π

2

=π，
∵正弦函数的递增区间为：[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]，
∴当2kπ-

π

2

≤2x+

π

3

≤2kπ+

π

2

，即kπ-

5π

12

≤x≤kπ+

π

12

时，函数f（x）单调递增，
则函数f（x）的单调增区间为[kπ-

5π

12

，kπ+

π

12

]   (k∈Z)；
（Ⅱ）∵B∈(0，π)，f(B)=

1

2

，即

3

sin（2B+

π

3

）-1=

1

2

，
∴sin（2B+

π

3

）=

3

2

，
∴2B+

π

3

=

2π

3

或2B+

π

3

=

π

3

（舍去），
∴B=

π

6

，即sinB=

1

2

，又b=1，c=

3

，
由正弦定理得：sinC=

1 2 × 3

1

=

3

2

，又C∈（0，π），
∴C=

π

3

或

2π

3

，
当C=

π

3

时，由B=

π

6

得到A=

π

2

，即三角形为直角三角形，
由b=1，c=

3

，根据勾股定理得：a=2；
当C=

2π

3

时，由B=

π

6

得到A=

π

6

，即三角形为等腰三角形，
则a=b=1，
综上，a的值为2或1．