题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知函数f（x）=cos2x+sin2x
（1）求f（x）的最大值和最小正周期；
（2）设α，β∈[0，

π

2

]，f（

α

2

+

π

8

）=

5

2

，f（

β

2

+π）=

2

，求sin（α+β）的值．

答案

（1）∵f（x）=cos2x+sin2x=

2

（

2

2

cos2x+

2

2

sin2x）=

2

sin（2x+

π

4

），
∵-1≤sin（2x+

π

4

）≤1，
∴f（x）的最大值为

2

，
∵ω=2，
∴周期T=

2π

2

=π；
（2）∵f（

α

2

+

π

8

）=

2

sin[2（

α

2

+

π

8

）+

π

4

]=

2

sin（α+

π

2

）=

2

cosα=

5

2

，
∴cosα=

10

4

，
又α∈[0，

π

2

]，∴sinα=

1-cos2α

=

6

4

，
∵f（

β

2

+π）=

2

sin[2（

β

2

+π）+

π

4

]=

2

sin（β+

π

4

+2π）=

2

sin（β+

π

4

）=

2

，
∴sin（β+

π

4

）=1，
∵β∈[0，

π

2

]，∴β+

π

4

∈[

π

4

，

3π

4

]，
∴β+

π

4

=

π

2

，即β=

π

4

，
则sin（α+β）=sin（α+

π

4

）=sinαcos

π

4

+cosαsin

π

4

=

3 + 5

4

．