题目

题型：不详难度：来源：

.如果对任意一个三角形，只要它的三边长a，b，c都在函数f(x)的定义域内，就有f(a)，f(b)，f(c)也是某个三角形的三边长，则称f(x)为“保三角形函数”.
（1）判断下列函数是不是“保三角形函数”，并证明你的结论：
① f(x)＝ ；    ② g(x)＝sinx (x∈(0，π)).
（2）若函数h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))是保三角形函数，求M的最小值.

答案

（1）f(x)＝ 是保三角形函数，g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函数.
（2）M的最小值为2.

解析

① f(x)＝ 是保三角形函数.
对任意一个三角形的三边长a，b，c，则a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，
f(a)＝ ，f(b)＝ ，f(c)＝ .
因为(＋)²＝a＋2＋b＞c＋2＞()²，所以＋＞.
同理可以证明：＋＞，＋＞.
所以f(a)、f(b)、f(c)也是某个三角形的三边长，故 f(x)＝ 是保三角形函数.
②g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函数. 取，显然这三个数能作为一个
三角形的三条边的长. 而sin＝1，sin＝，不能作为一个三角形的三边长.
所以g(x)＝sinx (x∈(0，π))不是保三角形函数.
(i)首先证明当M≥2时，函数h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))是保三角形函数.
对任意一个三角形三边长a，b，c∈［M，＋∞)，且a＋b＞c，b＋c＞a，c＋a＞b，
则h(a)＝lna，h(b)＝lnb，h(c)＝lnc.
因为a≥2，b≥2，a＋b＞c，所以(a－1)(b－1)≥1，所以ab≥a＋b＞c，所以lnab＞lnc，
即lna＋lnb＞lnc.
同理可证明lnb＋lnc＞lna，lnc＋lna＞lnb.
所以lna，lnb，lnc是一个三角形的三边长.
故函数h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞)，M≥2)，是保三角形函数.
(ii)其次证明当0<M＜2时，h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))不是保三角形函数.
当0<M＜2时，取三个数M，M，M²∈［M，＋∞)，
因为0＜M＜2，所以M＋M＝2M＞M²，所以M，M，M²是某个三角形的三条边长，
而lnM＋lnM＝2lnM＝lnM²，所以lnM，lnM，lnM²不能为某个三角形的三边长，
所以h(x)＝lnx不是保三角形函数.
所以，当M＜2时，h(x)＝lnx (x∈［M，＋∞))不是保三角形函数.
综上所述：M的最小值为2.