题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
(1)当a=1,b=-2时,求函数f(x)的不动点;
(2)若对任意实数b,函数f(x)恒有两个相异的不动点,求a的取值范围;
(3)在(2)的条件下,若y=f(x)图象上A,B两点的横坐标是函数f(x)的不动点,且A,B两点关于直线y=kx+对称,求b的最小值.
答案
(2)(0,1)
(3)-
解析
f(x)=x⇒x2-2x-3=0⇒x=-1,x=3,
∴函数f(x)的不动点为-1和3.
(2)即f(x)=ax2+(b+1)x+b-1=x有两个不等实根,转化为ax2+bx+b-1=0有两个不等实根,需有判别式大于0恒成立,即Δ=b2-4a(b-1)>0⇒Δ1=(-4a)2-4×4a<0⇒0<a<1,
∴a的取值范围为(0,1).
(3)设A(x1,x1),B(x2,x2),则x1+x2=-,
则A,B中点M的坐标为(,),即M(-,-).
∵A,B两点关于直线y=kx+对称,
且A,B在直线y=x上,
∴k=-1,A,B的中点M在直线y=kx+上.
∴-=+⇒b=-=-,
利用基本不等式可得当且仅当a=时,b的最小值为-.
核心考点
试题【对于函数f(x)若存在x0∈R,f(x0)=x0成立,则称x0为f(x)的不动点.已知f(x)=ax2+(b+1)x+b-1(a≠0).(1)当a=1,b=-2】;主要考察你对幂函数的定义等知识点的理解。[详细]
举一反三
(2)已知且,求的值.
A. | B.2 | C. | D.16 |
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