题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知非常数函数f（x）=log_a

1+kx

1-x

（a＞0，且a≠1）
（1）若f（x）为奇函数，求k的值．
（2）若f（x）在x∈（1，+∞）上是增函数，求k的取值范围．

答案

（1）由于非常数函数f（x）=log_a

1+kx

1-x

（a＞0，且a≠1），若f（x）为奇函数，
则有f（-2）+f（2）=0，即 loga

1-2k

3

+loga

1+2k

-1

=loga

1-4k2

-3

=0，故有

1-4k2

-3

=1，解得k=-1，或k=1（舍去）．
（2）若f（x）在x∈（1，+∞）上是增函数，则函数f（x）的导数为 f′（x）=

1-x

1+kx

log_ae＞0．
当a＞1时，由题意可得x＞1时，

1-x

1+kx

＞0，可得 1+kx＜0，即 k＜

-1

x

，可得k＜-1．
当 0＜a＜1时，由题意可得x＞1时，

1-x

1+kx

＜0，可得 1+kx＞0，即 k＞

-1

x

，可得k≥0．