题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

已知a＞2，求证：log_（a-1）a＞log_a（a+1）

答案

证明（法一）：∵log(a-1)a-loga(a+1)=

1

loga(a-1)

-loga(a+1)
=

1-(loga(a-1))•(loga(a+1))

loga(a-1)

．
因为a＞2，所以，log_a（a-1）＞0，log_a（a+1）＞0，
所以，log_a（a-1）•log_a（a+1）≤[

loga(a-1)+loga(a+1)

2

]2
=

[loga(a2-1)]2

4

＜

[logaa2]2

4

=1
所以，log_（a-1）a-log_a（a+1）＞0，命题得证．
证明2：因为a＞2，所以，log_a（a-1）＞0，log_a（a+1）＞0，
所以，

log(a-1)a

loga(a+1)

=

1 loga(a-1)

loga(a-1)

=

1

(loga(a-1))•(loga(a+1))

由法1可知：log_a（a-1）•log_a（a+1）≤[

loga(a-1)+loga(a+1)

2

]2
=

[loga(a2-1)]2

4

＜

[logaa2]2

4

=1
∴

1

loga(a-1)•loga(a+1)

＞1．
故命题得证