题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

将函数f（x）=log₂（x+1）的图象向左平移1个单位，再将图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=g（x）的图象．
（1）求函数y=g（x）的解析式和定义域；
（2）求函数y=F（x）=f（x-1）-g（x）的最大值．

答案

（1）将函数f（x）=log₂（x+1）的图象向左平移1个单位，可得函数y=log₂（x+2）的图象，
再将图象上的所有点的纵坐标伸长到原来的2倍（横坐标不变），得到函数y=2log₂（x+2）的图象，
故函数g（x）=2log₂（x+2），且x＞-2．…（4分）
（2）函数y=F（x）=f（x-1）-g（x）=log₂（x）-2log₂（x+2）=log2

x

(x+2)2

，x＞0．…（6分）
令u(x)=

x

(x+2)2

，x＞0，则u=

x

x2+4x+4

=

1

x+ 4 x +4

≤

1

8

，当且仅当x=2时取等号．
故F（x）=log₂u，由于F（x）=log₂u 在（0，+∞）上是增函数，…（10分）
故当x=2时，即u=

1

8

时，函数y=F（x）=log₂u取得最大值为 log2

1

8

=-3． …（12分）