题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

定义在[1，64]上的函数f（x）=log₂x-1，函数g（x）=-f²（x）+f（x³）
（1）求函数g（x）的定义域；
（2）求函数g（x）的最值以及取最值时相应的x的值．

答案

（1）由已知条件可得

1≤x≤64 1≤x3≤64

，可得1≤x≤4，故函数g（x）的定义域为[1，4]．…（4分）
（2）∵g(x)=-(log2x-1)2+log2x3-1=-lo

g

22

x+5log2x-2=-u2+5u-2=-(u-

5

2

)2+

17

4

=ϕ(u)，x∈[1，4]，u=log₂x∈[0，2]，
∴ϕ（u）在[0，2]上单调递增．
当u=log₂x=0，即x=1时，g_min（x）=ϕ（0）=-2；
当u=log₂x=2，即x=4时，g_max（x）=ϕ（2）=4．…（10分）