题目

题型：解答题难度：简单来源：不详

已知函数y=lg(-x)，求其定义域，并判断其奇偶性、单调性.

答案

由题意-x＞0，解得x∈R，即定义域为R.
又f（-x）=lg［-（-x）］=lg（+x）=lg=lg（-x）^-1=-lg（-x）=-f（x）,∴y=lg（-x）是奇函数.任取x₁、x₂∈（0，+∞）且x₁＜x₂，
则＜+x₁＜+x₂>，
即有-x₁＞-x₂＞0，
∴lg（-x₁）＞lg（-x₂），即f（x₁）＞f（x₂）成立.
∴f（x）在（0，+∞）上为减函数.
又f（x）是定义在R上的奇函数，故f（x）在（-∞，0）上也为减函数.

解析

 注意到+x=，即有lg（-x）=-lg（+x），从而f（-x）=lg（+x）=-lg（-x）=-f（x），可知其为奇函数.又因为奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，所以我们只需研究（0，+∞）上的单调性.