题目

题型：解答题难度：一般来源：上海模拟

如图，⊙O半径为2，直径CD以O为中心，在⊙O所在平面内转动，当CD 转动时，OA固定不动，0°≤∠DOA≤90°，且总有BC∥OA，AB∥CD，若OA=4，BC与⊙O交于E，连AD，设CE为x，四边形ABCD的面积为y．
（1）求y关于x的函数解析式，并指出x的取值范围；
（2）当x=2

3

（3）时，求四边形ABCD在圆内的面积与四边形ABCD的面积之比；
（4）当x取何值时，四边形ABCD为直角梯形？连EF，此时OCEF变成什么图形？（只需说明结论，不必证明）．

答案

（1）连接DE，过O作OH⊥BC于H，则DE⊥BC，OH∥DE
∵CD=4，CE=x
∴DE=

CD2-CE2

=

42-x2

=

16-x2

∴OH=

1

2

DE=

16-x2

2

∴y=S_▱ABCO+S_△OAD=4×

16-x2

2

+

1

2

×4×

16-x2

2

=3

16-x2

（0≤x≤4）
∴x的取值范围为0≤x≤4；
（2）当x=2

3

时
∵CE=2

3

，CD=4
∴DE=2，∠C=30°
∴∠DOE=60°，OH=1
∵S_圆内部分=

60×π×22

360

+

1

2

×2

3

×1=

2π

3

+

3

∵S_{四边形ABCD}=3

16-x2

=3

16-12

=6
∴S_圆内部分：S_{四边形ABCD}=

2π+3 3

18

∴四边形ABCD在圆内的面积与四边形ABCD的面积之比为（2π+3

3

）：18；
（3）x=0时，E与C重合，四边形ABCD为直角梯形，OCEF即三角形OCF的形状是等腰直角三角形；
当x=2时，CD、AB都与AD垂直．