题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

2013年4月20日8点02分四川省雅安市芦山县（北纬30.3度，东经103.0度）
发生7.0级地震，此次地震中，受灾面积大，伤亡惨重，医疗队到达后，都会选择一个合理的位置，使伤员能在最短的时间内得到救治．医疗队首先到达O点，设有四个乡镇，分别位于一个矩形ABCD的四个顶点A，B，C，D，为了救灾及灾后实际重建需要．需要修建三条小路OE、EF和OF，要求O是AB的中点，点E在边BC上，点F在边AD上，AB=50千米，BC=25

3

千米且∠EOF=90°，如图所示．
（1）设∠BOE=α，试将△OEF的周长表示成α的函数关系式，并求出此函数的定义域；
（2）经核算，三条路每千米铺设费用均为400元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用．

答案

（1）∵在Rt△BOE中，OB=25，∠B=90°，∠BOE=α，
∴OE=

25

cosα

在Rt△AOF中，OA=25，∠A=90°，∠AFO=α，
∴OF=

25

sinα

．
又∠EOF=90°，
∴EF=

OE2+OF2

=

25

cosαsinα

，
∴l=OE+OF+EF=

25

cosα

+

25

sinα

+

25

cosαsinα

=

25(sinα+cosα+1)

cosαsinα

．
当点F在点D时，这时角α最小，求得此时α=

π

6

；
当点E在C点时，这时角α最大，求得此时α=

π

3

．
故此函数的定义域为[

π

6

，

π

3

]．
（2）由题意知，要求铺路总费用最低，只要求△OEF的周长l的最小值即可．
由（1）得，l=

25(sinα+cosα+1)

cosαsinα

，α∈[

π

6

，

π

3

]．
设sinα+cosα=t，则sinαcosα=

t2-1

2

，
∴l=

25(t+1)

t2-1 2

=

50

t-1

由t=sinα+cosα=

2

sin（α+

π

4

），
又

5π

12

≤α+

π

4

≤

7π

12

，得

3 +1

2

≤t≤

2

，
∴

2

+1≤

1

t-1

≤

3

+1，
∴α=

π

4

，即BE=25时，l_min=50（

2

+1），
∴当BE=AF=25米时，铺路总费用最低，最低总费用为20000（

2

+1）元．