题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
设函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递增,若对任意x,y∈(0,+∞)都有:f(xy)=f(x)+f(y)成立,数列{an}满足:a1=f(1)+1,f(-)+f(+)=0.设Sn=aa+aa+aa+…+aa+aa.
(1)求数列{an}的通项公式,并求Sn关于n的表达式;
(2)设函数g(x)对任意x、y都有:g(x+y)=g(x)+g(y)+2xy,若g(1)=1,正项数列{bn}满足:b=g(),Tn为数列{bn}的前n项和,试比较4Sn与Tn的大小.
答案
(2)4Sn<Tn.
解析
令x=y=1得f(1)=2f(1),得f(1)=0,所以a1=f(1)+1=1.(1分)
因为f(-)+f(+)=0,所以f(-)=0=f(1).
又因为y=f(x)在(0,+∞)上是单调增函数,所以-=1,即-=4,(3分)
所以数列{}是以1为首项,4为公差的等差数列,所以=4n-3,所以an= .
∵aa==[-],
∴Sn=[-+-+…+-]=[1-].(5分)
(2)由于任意x,y∈R都有g(x+y)=g(x)+g(y)+2xy,则g(2x)=2g(x)+2x2,
∴g(1)=2g()+2·()2=2[2g()+2·()2]+=22g()++
=22[2g()+2·()2]++=23g()+++
=…=2ng()++++…++=1,
∴g()=,即b=.
又bn>0,∴bn=,(9分)
∴Tn=++…+=1-,又4Sn=1-.
当n=1,2,3,4时,4n+1>2n,∴4Sn>Tn;(10分)
当n≥5时,2n=C+C+C+…+C+C>1+2n+2=1+n2+n.
而n2+n+1-(4n+1)=n2-3n=n(n-3)>0,故4Sn<Tn.(13分)
(用数学归纳法证明参照计分)
核心考点
试题【(本小题满分13分)设函数y=f(x)的定义域为(0,+∞),且在(0,+∞)上单调递增,若对任意x,y∈(0,+∞)都有:f(xy)=f(x)+f(y)成立,】;主要考察你对指数函数图象及性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
(
A. 2 ( | B. 3 ( | C. 4 ( | D. 5 |
A.12 | B.14 | C.15 | D.18 |
(1)设每月用电x度,应交电费y元,写出y关于x的函数关系.
(2)小王家第一季度共用了多少度电?
月份 | 1月份 | 2月份 | 3月份 | 合计 |
缴费金额 | 76元 | 63元 | 45元6角 | 184元6角 |
A.6 | B. | C. | D.8 |
A. | B. | C. | D.N |
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