题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

设f(x)和g(x)都是定义在同一区间上的两个函数，若对任意x∈[1,2]，都有|f(x)＋g(x)|≤8，则称f(x)和g(x)是“友好函数”，设f(x)＝ax，g(x)＝.
(1)若a∈{1,4}，b∈{－1,1,4}，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率；
(2)若a∈[1,4]，b∈[1,4]，求f(x)和g(x)是“友好函数”的概率．

答案

（1）（2）

解析

(1)设事件A表示f(x)和g(x)是“友好函数”，
则|f(x)＋g(x)|(x∈[1,2])所有的情况有：
x－，x＋，x＋，4x－，4x＋，4x＋，
共6种且每种情况被取到的可能性相同．
又当a＞0，b＞0时，ax＋在上递减，在上递增；
x－和4x－在(0，＋∞)上递增，
∴对x∈[1,2]可使|f(x)＋g(x)|≤8恒成立的有x－，x＋，x＋，4x－，故事件A包含的基本事件有4种，
∴P(A)＝＝，故所求概率是.
(2)设事件B表示f(x)和g(x)是“友好函数”，
∵a是从区间[1,4]中任取的数，b是从区间[1,4]中任取的数，
∴点(a，b)所在区域是长为3，宽为3的矩形区域．
要使x∈[1,2]时，|f(x)＋g(x)|≤8恒成立，
需f(1)＋g(1)＝a＋b≤8且f(2)＋g(2)＝2a＋≤8，

∴事件B表示的点的区域是如图所示的阴影部分．
∴P(B)＝，
故所求概率是.