题目

题型：解答题难度：一般来源：不详

（本小题满分12分）已知函数 .
(1)求函数f(x)的定义域、值域；
（2）是否存在实数，使得函数f(x)满足：对于区间(2,+∞)上使函数f(x)有意义的一切x，都有f(x)≥0.

答案

解：(1)由4-a^x≥0,得a^x≤4.
当a>1时，x≤log_a4;  当0<a<1时，x≥log_a4.
即当a>1时，f(x)的定义域为（-∞,log_a4］;当0<a<1时，f(x)的定义域为［log_a4,+∞）.
令t=,则0≤t<2,且a^x=4-t²,
∴f(x)=4-t²-2t-1=-(t+1)²+4, 当t≥0时，f(x)是t的单调减函数,
∴f(2)<f(x)≤f(0),即-5<f(x)≤3.∴函数f(x)的值域是（-5，3］    .----------6分
（2）若存在实数a使得对于区间（2，+∞）上使函数f(x)有意义的一切x,都有f(x)≥0,则区间（2,+∞）是定义域的子集.由(1)知，a>1不满足条件；若0<a<1,则log_a4<2,且f(x)是x的减函数.
当x>2时，a^x<a².由于0<a²<1,   ∴t=
∴f(x)<0,即f(x)≥0不成立.
综上满足条件的a不存在.                    ------------------12分

解析

略