题目
题型:解答题难度:一般来源:广州一模
(1)求b的值;
(2)求f(2)的取值范围;
(3)试探究直线y=x-1与函数y=f(x)的图象交点个数的情况,并说明理由.
答案
∴f"(x)=-3x2+2ax+b.
∵f(x)在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,
∴当x=0时,f(x)取到极小值,即f"(0)=0.∴b=0.
(2)由(1)知,f(x)=-x3+ax2+c,
∵1是函数f(x)的一个零点,即f(1)=0,∴c=1-a.
∵f"(x)=-3x2+2ax=0的两个根分别为x1=0,x2=
2a |
3 |
∵f(x)在(0,1)上是增函数,且函数f(x)在R上有三个零点,
∴x2=
2a |
3 |
3 |
2 |
∴f(2)=-8+4a+(1-a)=3a-7>-
5 |
2 |
(3)由(2)知f(x)=-x3+ax2+1-a,且a>
3 |
2 |
要讨论直线y=x-1与函数y=f(x)图象的交点个数情况,
即求方程组
|
解的个数情况:由-x3+ax2+1-a=x-1,得(x3-1)-a(x2-1)+(x-1)=0.
即(x-1)(x2+x+1)-a(x-1)(x+1)+(x-1)=0.
即(x-1)[x2+(1-a)x+(2-a)]=0.∴x=1或x2+(1-a)x+(2-a)=0.
由方程x2+(1-a)x+(2-a)=0,(*)
得△=(1-a)2-4(2-a)=a2+2a-7.∵a>
3 |
2 |
若△<0,即a2+2a-7<0,解得
3 |
2 |
2 |
若△=0,即a2+2a-7=0,解得a=2
2 |
2 |
若△>0,即a2+2a-7>0,解得a>2
2 |
此时方程(*)有两个实数解,分别为
x1=
a-1-
| ||
2 |
a-1+
| ||
2 |
且当a=2时,x1=0,x2=1.
综上所述,当
3 |
2 |
2 |
当a=2
2 |
当a>2
2 |
核心考点
试题【已知函数f(x)=-x3+ax2+bx+c在(-∞,0)上是减函数,在(0,1)上是增函数,函数f(x)在R上有三个零点,且1是其中一个零点.(1)求b的值;(】;主要考察你对函数的零点等知识点的理解。[详细]
举一反三
x |
(1)若a∈R,求函数f(x)的极值;
(2)若函数f(x)在(1,2)上是增函数,g(x)在(0,1)上为减函数,求f(x),g(x)的表达式;
(3)对于(2)中的f(x),g(x),求证:当x>0时,方程f(x)=g(x)+2有唯-解.
3 |
2 |
(1)当a>0时,求f(x)和g(x)的公共单调区间;
(2)当a>2时,求函数h(x)=f(x)-g(x)的极小值;
(3)讨论方程f(x)=g(x)的解的个数.
a |
b |
(1)若
a |
b |
(2)若函数f(x)=
a |
b |
(I)求曲线C在A(1,3)处的切线方程?
(II)若直线l为曲线C的切线,并且直线l与曲线C有且仅有一个公共点,求所有这样直线l的方程?
1 |
3 |
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)若方程f(x)=a有三个实数解,求实数a的取值范围.
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