题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
x |
(1)若a∈R,求函数f(x)的极值;
(2)若函数f(x)在(1,2)上是增函数,g(x)在(0,1)上为减函数,求f(x),g(x)的表达式;
(3)对于(2)中的f(x),g(x),求证:当x>0时,方程f(x)=g(x)+2有唯-解.
答案
a |
x |
①若a≤0,f"(x)>0横成立,此时函数f(x)单调递增,无极值.
②若a>0,则由f′(x)=2x-
a |
x |
2x2-a |
x |
| ||
2 |
由f′(x)=
2x2-a |
x |
| ||
2 |
所以当x=
| ||
2 |
| ||
2 |
1 |
2 |
综上,若a≤0,函数f(x)无极值.
若a>0,函数f(x)取得极小值f(
| ||
2 |
1 |
2 |
(2)若函数f(x)在(1,2)上是增函数,则f′(x)=
2x2-a |
x |
即a≤2x2在(1,2)上恒成立,所以a≤2.
又g′(x)=1-
a | ||
2
|
则g′(x)=1-
a | ||
2
|
即a≥2
x |
综上a=2.
(3)由f(x)=g(x)+2得f(x)-g(x)-2=0,设h(x)=f(x)-g(x)-2=x2-2lnx-x+2
x |
则h′(x)=2x-
2 |
x |
1 | ||
|
2 |
x |
1 | ||
|
x |
x |
x |
解得x>1,此时函数h(x)单调递增.
由h"(x)<0,解的0<x<1.此时函数h(x)单调递减.
所以函数h(x)在x=1处取得极小值同时也是最小值h(0)=0,
当x>0时,且x≠1时,h(x)>0,所以h(x)=0在(0,+∞)上只有一个解,即当x>0时,方程f(x)=g(x)+2有唯-解.
核心考点
试题【已知函数f(x)=x2-alnx,g(x)=x-ax.(1)若a∈R,求函数f(x)的极值;(2)若函数f(x)在(1,2)上是增函数,g(x)在(0,1)上为】;主要考察你对函数的零点等知识点的理解。[详细]
举一反三
3 |
2 |
(1)当a>0时,求f(x)和g(x)的公共单调区间;
(2)当a>2时,求函数h(x)=f(x)-g(x)的极小值;
(3)讨论方程f(x)=g(x)的解的个数.
a |
b |
(1)若
a |
b |
(2)若函数f(x)=
a |
b |
(I)求曲线C在A(1,3)处的切线方程?
(II)若直线l为曲线C的切线,并且直线l与曲线C有且仅有一个公共点,求所有这样直线l的方程?
1 |
3 |
(1)求函数f(x)的表达式;
(2)若方程f(x)=a有三个实数解,求实数a的取值范围.
(1)若函数f(x)没有零点,求a的取值范围;
(2)若函数f(x)的图象的对称轴是x=1,解不等式f(x)>5.
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