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题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
已知函数f(x)=x+
a
x
(a∈
R),g(x)=lnx
(1)求函数F(x)=f(x)+g(x)的单调区间;
(2)若关于x的方程
g(x)
x
=x•[f(x)-2e]
(e为自然对数的底数)只有一个实数根,求a的值.
答案
函数F(x)=f(x)+g(x)=x+
a
x
+lnx
的定义域为(0,+∞).
F(x)=1-
a
x2
+
1
x
=
x2+x-a
x2

①当△=1+4a≤0,即a≤-
1
4
时,得x2+x-a≥0,则F′(x)≥0.
∴函数F(x)在(0,+∞)上单调递增.(2分)
②当△=1+4a>0,即a>-
1
4
时,令F′(x)=0,得x2+x-a=0,
解得x1=
-1-


1+4a
2
<0,x2=
-1+


1+4a
2

(ⅰ) 若-
1
4
<a≤0
,则x2=
-1+


1+4a
2
≤0

∵x∈(0,+∞),
∴F′(x)>0,
∴函数F(x)在(0,+∞)上单调递增.(4分)
(ⅱ)若a>0,则x∈(0,
-1+


1+4a
2
)
时,F′(x)<0;
x∈(
-1+


1+4a
2
,+∞)
时,F′(x)>0,
∴函数F(x)在区间(0,
-1+


1+4a
2
)
上单调递减,
在区间(
-1+


1+4a
2
,+∞)
上单调递增.
综上所述,当a≤0时,函数F(x)的单调递增区间为(0,+∞);(6分)
当a>0时,函数F(x)的单调递减区间为(0,
-1+


1+4a
2
)

单调递增区间为(
-1+


1+4a
2
,+∞)
.(8分)
(2)令h(x)=
lnx
x
,则h(x)=
1-lnx
x2

令h′(x)=0,得x=e.
当0<x<e时,h′(x)>0;
 当x>e时,h′(x)<0.
∴函数h(x)在区间(0,e)上单调递增,
在区间(e,+∞)上单调递减.
∴当x=e时,函数h(x)取得最大值,其值为h(e)=
1
e
.(10分)
而函数m(x)=x2-2ex+a=(x-e)2+a-e2
当x=e时,函数m(x)取得最小值,其值为m(e)=a-e2.(12分)
∴当a-e2=
1
e
,即a=e2+
1
e
时,
方程
g(x)
x2
=f(x)-2e
只有一个根.(14分)
核心考点
试题【已知函数f(x)=x+ax(a∈R),g(x)=lnx(1)求函数F(x)=f(x)+g(x)的单调区间;(2)若关于x的方程g(x)x=x•[f(x)-2e]】;主要考察你对函数的零点等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知函数 f(x)=ln(2ax+1)+
x3
3
-x2-2ax
(a≥0).
(1)若x=2为f(x)的极值点,求实数a的值;
(2)若y=f(x)在[3,+∞)上不是单调函数,求实数a的取值范围;
(3)当a=-
1
2
时,方程f(1-x)=
(1-x)3
3
+
b
x
有实根,求实数b的最大值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若函数y=(
1
2
)|1-x|+m
的图象存在有零点,则m的取值范围是 ______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=2sin(ωx-
π
4
)(ω>0)
,y=f(x)的图象与直线y=2的两个相邻交点的距离等于π,则满足不等式f(x+
π
8
)>0
的x取值范围是______.
题型:填空题难度:一般| 查看答案
函数f(x)=2x-5的零点所在区间为[m,m+1](m∈N),则m=______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=x2+(1-k)x-k恰有一个零点在区间(2,3)内,则实数k的取值范围是______
题型:填空题难度:一般| 查看答案
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