题目
题型:解答题难度:一般来源:不详
x3 |
3 |
(1)若x=2为f(x)的极值点,求实数a的值;
(2)若y=f(x)在[3,+∞)上不是单调函数,求实数a的取值范围;
(3)当a=-
1 |
2 |
(1-x)3 |
3 |
b |
x |
答案
x3 |
3 |
得:f′(x)=
2a |
2ax+1 |
=
2a+2ax3+x2-4ax2-2x-4a2x-2a |
2ax+1 |
=
x[2ax2+(1-4a)x-(4a2+2)] |
2ax+1 |
因为x=2为f(x)的极值点,所以f′(2)=0.
即
2a |
4a+1 |
又当a=0时,f′(x)=x(x-2),从而x=2为f(x)的极值点成立.
(2)由函数f(x)的定义域可知,必须有2ax+1>0对x≥3恒成立,故只能a≥0,
由于f′(x)=
x[2ax2+(1-4a)x-(4a2+2)] |
2ax+1 |
所以,令g(x)=2ax2+(1-4a)x-(4a2+2).
则g(x)>0与g(x)<0在区间[3,+∞)上都有解,
由a≥0知,g(x)>0一定有解,又g(x)的对称轴为x=1-
1 |
4a |
因此只要g(3)<0即说明g(x)<0在区间[3,+∞)上都有解,
由g(3)<0得,4a2-6a-1>0,解得:a<
3-
| ||
4 |
3+
| ||
4 |
因为a≥0,所以a>
3+
| ||
4 |
综上所述,a的取值范围是(
3+
| ||
4 |
(3)若a=-
1 |
2 |
(1-x)3 |
3 |
b |
x |
b |
x |
问题转化为b=xlnx-x(1-x)2+x(1-x)=xlnx+x2-x3在(0,+∞)上有解,
即求函数g(x)=xlnx+x2-x3的值域.
因为g(x)=x(lnx+x-x2),令h(x)=lnx+x-x2(x>0),
则h′(x)=
1 |
x |
(2x+1)(1-x) |
x |
当0<x<1时,h′(x)>0,h(x)在(0,1)上为增函数,
当x>1时,h′(x)<0,h(x)在(1,+∞)上为减函数,
因此h(x)≤h(1)=0.
而x>0,故b=x•h(x)≤0,
因此,当x=1时,b取得最大值0.
所以,当a=-
1 |
2 |
(1-x)3 |
3 |
b |
x |
核心考点
试题【已知函数 f(x)=ln(2ax+1)+x33-x2-2ax(a≥0).(1)若x=2为f(x)的极值点,求实数a的值;(2)若y=f(x)在[3,+∞)上不是】;主要考察你对函数的零点等知识点的理解。[详细]
举一反三
1 |
2 |
π |
4 |
π |
8 |
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