（1）∵函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，0＜φ＜π）的周期为π，
∴ω=

2π

T

=2，
又曲线y=f（x）的一个对称中心为(

π

4

，0)，φ∈（0，π），
故f（

π

4

）=sin（2×

π

4

+φ）=0，得φ=

π

2

，所以f（x）=cos2x．
将函数f（x）图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变）后可得y=cosx的图象，
再将y=cosx的图象向右平移

π

2

个单位长度后得到函数g（x）=cos（x-

π

2

）的图象，
∴g（x）=sinx．
（2）当x∈（

π

6

，

π

4

）时，

1

2

＜sinx＜

2

2

，0＜cosx＜

1

2

，
∴sinx＞cos2x＞sinxcos2x，
问题转化为方程2cos2x=sinx+sinxcos2x在（

π

6

，

π

4

）内是否有解．
设G（x）=sinx+sinxcos2x-cos2x，x∈（

π

6

，

π

4

），
则G′（x）=cosx+cosxcos2x+2sin2x（2-sinx），
∵x∈（

π

6

，

π

4

），
∴G′（x）＞0，G（x）在（

π

6

，

π

4

）内单调递增，
又G（

π

6

）=-

1

4

＜0，G（

π

4

）=

2

2

＞0，且G（x）的图象连续不断，故可知函数G（x）在（

π

6

，

π

4

）内存在唯一零点x₀，即存在唯一零点x₀∈（

π

6

，

π

4

）满足题意．
（3）依题意，F（x）=asinx+cos2x，令F（x）=asinx+cos2x=0，
当sinx=0，即x=kπ（k∈Z）时，cos2x=1，从而x=kπ（k∈Z）不是方程F（x）=0的解，
∴方程F（x）=0等价于关于x的方程a=-

cos2x

sinx

，x≠kπ（k∈Z）．
现研究x∈（0，π）∪（π，2π）时方程a=-

cos2x

sinx

的解的情况．
令h（x）=-

cos2x

sinx

，x∈（0，π）∪（π，2π），
则问题转化为研究直线y=a与曲线y=h（x），x∈（0，π）∪（π，2π）的交点情况．
h′（x）=

cosx(2sin2x+1)

sin2x

，令h′（x）=0，得x=

π

2

或x=

3π

2

，
当x变换时，h′（x），h（x）的变化情况如下表：

x	（0， π 2 ）	π 2	（ π 2 ，π）	（π， 3π 2 ）	3π 2	（ 3π 2 ，2π）
h′（x）	+	0	-	-	0	+
h（x）	↗	1	↘	↘	-1	↗
方程2x=8的解是______．
设函数f（x）=x3-4x+a，0＜a＜2．若f（x）的三个零点为x1，x2，x3，且x1＜x2＜x3，则（　　） A．x1＞-1 B．x2＜0 C．x2＞0 D．x3＞2
设函数f（x）=a2x2（a＞0）． （1）将函数y=f（x）图象向右平移一个单位即可得到函数y=φ（x）的图象，写出y=φ（x）的解析式及值域； （2）关于x的不等式（x-1）2＞f（x）的解集中的整数恰有3个，求实数a的取值范围．
设函数f（x）=x3-4x+a（0＜a＜2）有三个零点x1、x2、x3，且x1＜x2＜x3，则下列结论正确的是（　　） A．x1＞-1 B．x2＜0 C．0＜x2＜1 D．x3＞2
已知函数f（x）=2sinx-x+k在区间[0， π 2 ]上有两个零点，则实数k的取值范围是______．