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题目
题型:填空题难度:一般来源:不详
方程
1
x-1
=2sin(πx)
在区间[-2010,2012]所有根之和等于______.
答案
设 f(x)=
1
x-1
,g(x)=2sinπx,此题是求以上两个函数的交点的横坐标的和的问题.
显然,以上两个函数都关于点(1,0)成中心对称.
函数f(x)的值域为(-∞,0)∪(0,+∞),定义域为{x|x≠1},
函数g(x) 的值域为[-2,2],定义域为R,最小正周期为2.
在区间[0,2]上,两个函数无交点,应用介值定理,可以得到第一个交点x0∈[2,
9
4
].
从x=2开始,在每个周期上,f(x) 和 g(x)都有两个交点,相对应的,在区间[-2010,0]上,
两个函数有和区间[2,2012]上相同多的交点.
在区间[2,2012]上,函数g(x) 共有1005个周期,因此和函数f(x)有2010个交点,
因此在区间[-2010,0]上也有2010个交点,
且对每一个交点,相对于(1,0)中心对称的点也是两个函数的交点.
而每对这样的交点之和为2,即若m是两个函数的一个交点的横坐标,则2-m也是两个函数的一个交点的横坐标,
因为一共有2010对这样的交点.
所以,在区间[-2010,2012]上,两个函数所有交点的横坐标的和为2010×2=4020.
核心考点
试题【方程1x-1=2sin(πx)在区间[-2010,2012]所有根之和等于______.】;主要考察你对函数的零点等知识点的理解。[详细]
举一反三
已知向量a=(sin
x
2


3
cos
x
2
),b=(cos
x
2
,cos
x
2
)
,设f(x)=a•b.
(Ⅰ)求函数f(x)在[0,2π]上的零点;
(Ⅱ)设△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c,已知f(A)=


3
,b=2,sinA=2sinC,求边c的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
设方程xlnx=2013的解为α,方程xex=2013的解为β,则α•β的值为______.
题型:填空题难度:简单| 查看答案
已知函数f(x)=


3
sin(π-wx)•coswx-cos2wx+
1
2
(w>0)的图象的两相邻对称轴间的距离为
π
4

(1)求w值;
(2)若cosx≥
1
2
,x∈(0,π)
,且f(x)=m有且仅有一个实根,求实数m的值.
题型:解答题难度:一般| 查看答案
若函数y=lnx与y=
2
x
的图象的交点为(x0,y0),则x0所在的区间是(  )
A.(1,2)B.(2,3)C.(e,3)D.(e,+∞)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
设x0是函数f(x)=x2-|log2x|的一个零点,则x0所在的一个区间是(  )
A.(0,
1
4
)
B.(
1
4
1
2
)
C.(
1
2
,1)
D.(1,+∞)
题型:单选题难度:一般| 查看答案
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