已知函数f(x)=x2-alnx(常数a>0). (Ⅰ)当a=3时,求曲线y=f(x)在点(1,f(x))处的切线方程; (Ⅱ)讨论函数f(x)在区间(1,ea)上零点的个数(e为自然对数的底数). |
(Ⅰ)当a=3时,f(x)=x2-3lnx, ∴f"(x)=2x-(1分) ∴fˊ(1)=-1 又∵f(1)=1, ∴曲线y=f(x)在点(1,f(1))处的切线方程为y-1=-(x-1). 即x+y-2=0.--------------------------------3分 (Ⅱ)(1)下面先证明:ea>a(a≥0). 设g(a)=ea-a(a≥0),则g′(a)=ea-1≥e0-1=0(a≥0),且仅当g′(a)=0⇔a=0, 所以g(a)在[0,+∞)上是增函数,故g(a)≥g(0)=1>0. 所以ea-a>0,即ea>a(a≥0).------------------------------5分 (2)因为f(x)=x2-a lnx, 所以f′(x)=2x-==. 因为当0<x<时,fˊ(x)<0,当x>时,1,fˊ(x)>0. 又<a<ea<e2a(a≥0,a<2a)⇒<ea, 所以f(x)在(0,]上是减函数,在[,+∞)是增函数. 所以f(x)min=f()=(1-ln).------------------------------9分 (3)下面讨论函数f(x)的零点情况. ①当(1-ln)>0,即0<a<2e时,函数f(x)在(1,ea)上无零点; ②当(1-ln)=0,即a=2e时,=,则1<<ea 而f(1)=1>0,f()=0,f(ea)>0, ∴f(x)在(1,ea)上有一个零点; ③当(1-ln)<0,即a>2e时,ea>>>1, 由于f(1)=1>0,f()=(1-ln)<0. f(ea)=e2a-a lnea=e2a-a2=(ea-a)(ea+a)>0, 所以,函数f(x)在(1,ea)上有两个零点.(13分) 综上所述,f(x)在(1,ea)上有结论: 当0<a<2e时,函数f(x)有、无零点; a=2e时,函数f(x)有一个零点; 当a>2e时,函数f(x)有两个零点.------------------------------14分. |
核心考点
试题【已知函数f(x)=x2-alnx(常数a>0).(Ⅰ)当a=3时,求曲线y=f(x)在点(1,f(x))处的切线方程;(Ⅱ)讨论函数f(x)在区间(1,ea)上】;主要考察你对
函数的零点等知识点的理解。
[详细]
举一反三
已知定义在实数集上的函数fn(x)=xn,n∈N*,其导函数记为f"n(x),且满足:f2(ξ2)=f2(ξ1)+(ξ2-ξ1)f′2[ξ1+(ξ2-ξ1)](ξ1≠ξ2),λ,ξ1,ξ2为常数. (Ⅰ)试求λ的值; (Ⅱ)设函数f2n-1(x)与fn(1-x)的乘积为函数F(x),求F(x)的极大值与极小值; (Ⅲ)试讨论关于x的方程=在区间(0,1)上的实数根的个数. |
设a,b∈(0,1),则关于x的方程x2+2ax+b=0在(-∞,∞)上有两个不同的零点的概率为______. |
若函数f(x)=x3-ax(a>0)的零点都在区间[-10,10]上,则使得方程f(x)=1000有正整数解的实数a的取值的个数为______. |