题目

题型：解答题难度：简单来源：不详

（满分16分）
记函数f(x)的定义域为D，若存在，使成立，则称以为坐标的点为函数图象上的不动点。
（1）若函数的图象上有两个关于原点对称的不动点，求应满足的条件；
（2）下述结论“若定义在Ｒ上的奇函数f(x)的图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，请给予证明，并举出一例；若不正确，请举出一反例说明

答案

（1）
（2）证明略

解析

解：（1）由， …………………………………………2分
整理得   ……………………………………4分
由题意知方程（*）有两个互为相反数的根，所以即………6分
，，……………………………………………………8分
故应满足且……………………………………………………10分
（2）结论正确。……………………………………………………12分
证明：为奇函数，，取，得，
即（0,0）为函数的一个不动点，设函数除0以外还有不动点，
则
又，故也为函数的不动点。…………………14分
综上，若定义在R上的奇函数图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个。
例如：。…………………………………………………16分