题目

题型：解答题难度：困难来源：江苏高考真题

设a为实数，设函数的最大值为g（a）。
（1）设t=，求t的取值范围，并把f（x）表示为t的函数m（t）；
（2）求g（a）；
（3）试求满足的所有实数a。

答案

解：（1）∵
∴要使t有意义，必须且，即
∵
∴t的取值范围是
由①得
∴。
（2）由题意知即g（a）为函数的最大值
（i）当a>0，函数的图像是开口向上的抛物线的一段，
由知m（t）在上单调递增
∴
（ii）当a=0时，m（t）=t，，
∴。
（iii）当a＜0时，函数y=m（t），的图像是开口向下的抛物线的一段
若即
则
若，即
则
若，即，则
综上有。
（3）情形1：当时，，此时
由解得，与矛盾
情形2：当时，
此时
由解得，与矛盾
情形3：当时，
此时
所以
情形4：当时，
此时，
由解得，与矛盾
情形5：当时，
此时
由解得与矛盾
情形6：当a>0时，
此时
由解得
由知
综上知，满足的所有实数a为：
。