题目
题型:解答题难度:一般来源:北京期中题
(Ⅰ)求函数f(x)的解析式;
(Ⅱ)求实数m,n(m<n),使得f(x)的定义域为[m,n]时,f(x)的取值范围是[3m,3n].
答案
所以函数f(x)图象的对称轴是直线x=1.
所以﹣=1,即b=﹣2a.
因为函数g(x)=f(x)﹣x只有一个零点,
即ax2﹣(2a+1)x=0有等根.所以△=(2a+1)2=0.
即a=﹣,b=1.所以f (x)=﹣x2+x.
(Ⅱ)①当m<n<1时,f (x)在[m,n]上单调递增,f (m)=3m,f (n)=3n,
所以m,n是﹣x2+x=3x的两根.解得m=﹣4,n=0;
②当m≤1≤ n时,3n=,解得n=.不符合题意;
③当1<m<n时,f (x)在[m,n]上单调递减,所以f (m)=3n,f (n)=3m.
即﹣m2+m=3n,﹣n2+n=3m.
相减得﹣(m2﹣n2)+(m﹣n)=3(n﹣m).
因为m≠n,所以﹣(m+n)+1=﹣3.所以m+n=8.
将n= 8﹣m代入﹣m2+m=3n,得﹣m2+m=3(8﹣m).
但此方程无解.
m=﹣4,n=0时,f (x)的定义域和值域分别是[m,n]和[3m,3n].
核心考点
试题【已知函数f(x)=ax2+bx(a,b为常数,且a≠0)满足条件f(1﹣x)=f(1+x),且函数g(x)=f(x)﹣x只有一个零点. (Ⅰ)求函数f(x)的解】;主要考察你对二次函数的图象和性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
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