题目
题型:解答题难度:一般来源:江苏期中题
(1)求实数b的取值范围;
(2)求圆C的方程;
(3)问圆C是否经过定点(其坐标与b的无关)?请证明你的结论.
答案
令f(x)=x2+2x+b=0,
由题意b≠0且△>0,
解得b<1且b≠0.
(2)设所求圆的一般方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0
令y=0得x2+Dx+F=0这与x2+2x+b=0是同一个方程,
故D=2,F=b.
令x=0得y2+Ey+F=0,方程有一个根为b,
代入得出E=﹣b﹣1.
所以圆C的方程为x2+y2+2x﹣(b+1)y+b=0.
(3)圆C必过定点,证明如下:假设圆C过定点(x0,y0)(x0,y0不依赖于b),
将该点的坐标代入圆C的方程,并变形为x02+y02+2x0﹣y0+b(1﹣y0)=0(*)
为使(*)式对所有满足b<1(b≠0)的b都成立,
必须有1﹣y0=0,结合(*)式得x02+y02+2x0﹣y0=0,
解得
经检验知,点(0,1),(﹣2,1)均在圆C上,因此圆C过定点.
核心考点
试题【在平面直角坐标系xOy中,记二次函数f(x)=x2+2x+b(x∈R)与两坐标轴有三个交点.经过三个交点的圆记为C.(1)求实数b的取值范围;(2)求圆C的方程】;主要考察你对二次函数的图象和性质等知识点的理解。[详细]
举一反三
甲说:“可视x为变量,y为常量来分析”.
乙说:“不等式两边同除以x2,再作分析”.
丙说:“把字母a单独放在一边,再作分析”.
参考上述思路,或自已的其它解法,可求出实数a的取值范围是( ).
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