题目

题型：解答题难度：一般来源：黄埔区一模

已知，二次函数f（x）=ax²+bx+c及一次函数g（x）=-bx，其中a、b、c∈R，a＞b＞c，a+b+c=0．
（Ⅰ）求证：f（x）及g（x）两函数图象相交于相异两点；
（Ⅱ）设f（x）、g（x）两图象交于A、B两点，当AB线段在x轴上射影为A₁B₁时，试求|A₁B₁|的取值范围．

答案

依题意，知a、b≠0
∵a＞b＞c且a+b+c=0
∴a＞0且c＜0
（Ⅰ）令f（x）=g（x），
得ax²+2bx+c=0．（*）
△=4（b²-ac）
∵a＞0，c＜0，∴ac＜0，∴△＞0
∴f（x）、g（x）相交于相异两点．
（Ⅱ）设方程的两根为x₁，x₂，则|A₁B₁|²=

A

a2

=4[（

c

a

+

1

2

）²+

3

4

]，
∵a＞b＞c，a+b+c=0，
∴a＞-（a+c）＞c，a＞0，
∴-2＜

c

a

＜-

1

2

，
此时3＜A₁B₁²＜12，
∴

3

＜|A₁B₁|＜2

3

．